情報を追記している場合はありますが、古い情報を訂正はしていませんので、公開年月日を参照してください。プラグイン・タグ、いずれもワードプレス・PHPのバージョン等によって動作しない場合もあります。
ワードプレスの構築などで作業するサーバーにどのようなタイプがあるか
一般的なレンタルサーバー
さくら、エックス、ヘテムルなど、一般的なレンタルサーバーはデータベースのアップデートは自動またはワンクリック、PHPバージョンも選択するだけ、容量も大きいので、あまり悩まされる要素はありません。
*PHPバージョンはドメインごとの設定ができない場合もあります。
例えば、投稿用のフィールド数が多くなるとか、負荷のかかる作業が必要な場合はPHPの設定を変更する必要がありますが、ほとんどの場合、コントロールパネルから操作できると思います。
サイトの容量が大きくなると、プラグインでのバックアップ作成が難しくなる場合もありますので、サーバーの標準機能でバックアップが取得できるかも確認ポイントです。
制作会社のサーバー
制作会社が借りているサーバースペースの場合、PHPの拡張など機能の確認が必要な場合があります。また、一般のレンタルサーバーのように容量が大きくないので、空き容量の確認が必要です。
その他
私が遭遇したのは法人向けサーバーでしたが、パーミッションが厳しく自動更新ができない、バックアップの作成ができない、という場合があります。FTPでパーミッションの変更ができる場合・できない場合がありますが、出来る場合でも作業後は元に戻しておくのが無難かと思います。
また、いろいろな設定が一般のレンタルサーバーほど自動化されていないので、チェックが必要です。
古いプラン・古いサーバーのまま、という場合もありました。
プランを変更したり、サーバー側の都合で新しいサーバーに移動という場合でもユーザー側でデータを移動しないといけない場合があり、メールアドレスの再設定が面倒という理由で古いまま。この場合、PHPなど利用できるバージョンに制限があり、色々とできる・できないのチェックが必要です。